0の0乗についてグダグダと思ったこと

Radium Software Development - 0^0=1 を読んだ。 $0^0=1$ とすると便利なことが多いらしい。
例として二項定理が挙げられていて、 $x^y$ の形があったときに $x$ は実数や複素数の範囲で OK だけど $y$ は整数だけしか考えないという定理が多いからじゃないか、と思った。
$y$ が整数しかないなら、 $x=0,\;y=\pm1$ から $y=0$ を推測するよりは、 $y=0,\;x\neq0$ で考えて $x=0$ で連続になるように決めるのが自然な気がする。
両方実数・複素数の場合は、リンクされている sci.math FAQ: What is 0^0?やZero to the Zero Power -- Math Fun Factsを読むと、

$\lim_{t\rightarrow+0}t^{t}=1$ のように、 $x,\;y$ が 0 の近くで解析的な場合とかも 1 になる。
例えば $\lim_{t\rightarrow+0}x^y=e^{-1},\;x=e^{-1/t},\;y=t$ のように、x が $e^{-1/y}$ と同程度かそれより速く 0 に近づく場合 1 にならない。

状況は少ないかもしれないけどホイホイ 1 扱いするのは間違いそうで怖い。人類が現在よく使っている関数がそうだというだけな気もするし。
空集合を空集合にマップとかはよくわからない。
ということで、 $0^0=1$ と定義すると便利な文脈は、底が実数・複素数で指数が整数に決まっている場合と、解析的な関数だけを扱っている場合かな、と思いました。
そのほか。

$x=\frac{1}{N!}\;y=\frac{1}{N}$ だと $\lim_{N\rightarrow\infty}x^y=0$ で、 $y=-\frac{1}{N}$ だと $\lim_{N\rightarrow\infty}x^y=\infty$ 。
$x=at^\alpha,\;y=bt^\beta$ だと $\lim_{t\rightarrow+0}x^y=1$ かな。
$x$ が $y$ より極端に速く 0 になる場合というのは、 $y$ を置いておいて $x=0$ を代入する状況に近いので、 $y\rightarrow+0$ だと 0 、 $y\rightarrow-0$ だと∞になる。
$y$ が $x$ より極端に速く 0 になる場合というのは、 $x$ を置いておいて $y=0$ を代入する状況に近いので、1 になる。
負の値に収束することは無さそうな感じ。
追記: $0^0=1$ とすると気持ち悪くなる例。 $x(t)=\left\{\begin{eqnarray}e^{-1/t^2}& t\ne0\\0&t=0\end{eqnarray}\right.$ と $y(t)=t^2$ は連続なのに、 $x(t)^{y(t)}$ は $t=0$ で不連続になる。