「数列は、次の漸化式で与えられる。(第n+3項)=(−1)×(第n+2項)+2×(第n+1項)+8×(第n項),(第1項)=(第2項)=(第3項)=1。この数列のすべての項は平方数(整数の2乗)であることを証明せよ」
数学オリンピックについて思うこと・その1 - hiroyukikojimaの日記
数列 は、漸化式
、最初の 2 項が
で与えられるとする。この数列の各項を 2 乗した数列
を考えると、
は整数なので、
は平方数である。
- 数列
の定義から
なので、
の最初の 3 項は
である。
の漸化式を考えると、
、
なので、
という漸化式に従う。
よって は題意を満たす数列で、各項は平方数である。
問題の漸化式からは数列が一意に決まるので、題意を満たす数列の各項は平方数である。