じゃねぇぇぇぇの法則

から派生した問題いい加減誰も気にしていない折り返し地点問題 - debelabo.jp - 断片部を近似的に解いてみる。
自然数 N が与えられた時、 $\sum_{n=1}^M{\Large\frac{1}{n}}$ が $\sum_{n=1}^N{\Large\frac{1}{n}}$ の半分に最も近くなるような自然数 M は何でしょう、という感じの問題なので、 $\frac{1}{2}\sum_{n=1}^N{\Large\frac{1}{n}}\approx\sum_{n=1}^M{\Large\frac{1}{n}}$ とする。
Harmonic number - Wikipedia にある、 $\sum_{n=1}^N{\Large\frac{1}{n}}=\log N +\gamma+\frac{1}{2N}-\frac{1}{12N^2}+\frac{1}{120N^4}+{\cal O}(N^{-6})$ という式を使って近似すると、 $\frac{1}{2}\left%5b\log N +\gamma+\frac{1}{2N}-\frac{1}{12N^2}+\frac{1}{120N^4}+{\cal O}(N^{-6})\right%5d=\log M +\gamma+\frac{1}{2M}-\frac{1}{12M^2}+\frac{1}{120M^4}+{\cal O}(M^{-6})$ になる。これを満たすように M を N の式で表すと、 $M=-\frac{1}{2}+\sqrt{e^{-\gamma}N}\left({\Large 1-\frac{e^\gamma-6}{24N}+\frac{9e^{2\gamma}+20e^\gamma-20}{1920N^2}+{\cal O}(N^{-3})}\right)$ になる。
この式に N を代入して出た結果を四捨五入して自然数にすれば、だいたい欲しい値が得られる。(小数点以下が 0.5 に近いと 1 ずれることがある。)
試しに N=29219(≒80*365.2422)日とすると M=128日なので、80 年寿命があると人生の体感時間の半分は生後 128 日で過ぎるということになる。
追記:10分割の方は、 $p=k/10,\;k=1,2,...,9$ とすると、だいたい $-\frac{1}{2}+e^{(p-1)\gamma}N^p$ に最も近い整数になる。